Програмата JUMP Math поднася учебното съдържание по математика чрез метода „насочвано откривателство“. В заниманията по JUMP учениците самостоятелно и на постижими стъпки изследват и откриват математически понятия, а учителят осигурява достатъчно насоки, примери, обратна връзка и подкрепяща структура, за да могат всички ученици да развият пълния си потенциал.

JUMP Math се препоръчва от Канадската мрежа за изследване на езика и грамотността (Canadian Language and Literacy Research Network) като програма, която „предлага на педагозите… пълен набор от балансирани материали и обучение, които да помогнат на учителите да достигнат до всички ученици”.

  • Bisanz et al. (2010) Foundations for Numeracy: An Evidence-based Toolkit for the Effective Mathematics Teacher. Canadian Child Care Federation and Canadian Language and Literacy Research Network, p. 44.

През 2011, L. Alfieri et al. провеждат мета анализ на 164 изследвания върху ученето чрез откривателство и стигат до заключението, че „чистото откривателство не е от полза за учениците, докато обратната връзка, примерите, подкрепящата структура и ясните инструкции определено носят ползи.“ Авторите препоръчват „насочваното откривателство“ (откривателство в комбинация с видовете подкрепа, споменати по-горе) като най-ефективния подход при преподаването на математика.

  • Alfieri, L., et al. (2011) Does Discovery Based Instruction Enhance Learning? Journal of Educational Psychology, Vol. 103, Issue 1, p 1-18.
  • Вижте и библиографията по-долу, която съдържа доказателства, че е необходимо откривателството да бъде балансирано с прецизни насоки: Anderson (2000), Gobet (2005), Van Merrienboer (2005), Ross (2006), Kirshner (2006).

Подробните Ръководства за учителите съдържат ядрото на програмата JUMP Math. Плановете на уроците от Ръководствата обхващат цялото учебно съдържание и включват идеи за контекстуализиране на математическите понятия; моментни тестове и въпроси за формиращо оценяване; задачи и предизвикателства, които позволяват на учениците да изследват и развиват понятия; упражнения за смятане наум, които помагат на учениците да се научат да смятат с лекота и автоматично да си припомнят математически факти; допълнителни въпроси за учениците, които бързо свършат работата си; както и разнообразни игри и дейности с конкретни материали. Учебните тетрадки, които се използват в края на урока, помагат на учителите да оценят дали учениците са разбрали урока и предлагат на учениците упражнения, с които да затвърдят уменията и понятията.

Плановете на уроците и материали в JUMP позволяват на учителите да диференцират преподаването, тъй като включват допълнителни упражнения, подкрепяща структура и постоянно оценяване за учениците, които имат нужда от това, както и дейности за по-напредналите и бързите ученици. Но, въпреки че инструкциите са диференцирани, от по-голямата част от учениците се очаква да покриват едни и същи стандарти.

Все повече изследвания от педагогиката и когнитивната наука потвърждават, че с подходящите методи на преподаване, децата могат да развият способности по предмети, в които допреди не са показвали действителни способности или дарби. (виж  напр. Ross, P. E. (2006) “The Expert Mind.” Scientific American, July.) Изследванията показват още, че е много по-вероятно нови способности да възникнат, когато мозъкът на детето внимаващ и ангажиран.

Подкрепящи научни изследвания:

  • Posner, M., Rothbart, M. (2005) Influencing brain networks: implications for education, TRENDS in Cognitive Science, v.9, no. 3
  • Gathercole, S. E., Alloway, T. P., Kirkwood, H. J., Elliott, J. G., Holmes, J., & Hilton, K. A. (2008). Attentional and executive function behaviours in children with poor working memory. Learning and Individual Differences, 18(2), 214-223.
  • Schwartz, J., Bregley, S. (2002) The Mind and the Brain. NY, Regan Books.

При създаването на програмата JUMP Math зададохме въпроса:

Кои са бариерите, които пречат на учениците да внимават и да участват активно в часовете по математика?

Бариера № 1: Учениците, които са тревожни или нямат усещането, че са ефективни, срещат затруднения да се фокусират и да работят върху поставената им задача.

Научни изследвания:

  • Ashcraft, M. H. & Kirk. E. P. (2001) The Relationships among working memory, math anxiety, and performance. Journal of Experimental Psychology: General, 130
  • Ashcraft, M., Krause, J. A. (2007) Working memory, math performance, and math anxiety, Psychonomic Bulletin and Review, 14 (2), 243-248.
  • Beilock, S. (2008). Math performance in stressful situations. Current Directions in Psychological Science, 17, 339-343.
  • Pacheco-Unguetti, A. P., Acosta, A., Callejas, A., & Lupianez, J. (2010). Different Attentional Functioning Under State and Trait Anxiety. Psychological Science, 21, 298-304.
  • Lussier, G. (1996). Sex and mathematical background as predictors of anxiety and self-efficacy in mathematics. Psychology Reports, 79, 827-833.
  • Bandura, A. (1986) Fearful expectations and avoidant actions as coeffects of perceived self-inefficacy, American Psychologist, December, 1389-1391
  • Pajares, F., and Miller, D. (1994). Role of self-efficacy and self-concept beliefs in mathematical problem solving: A path analysis. Journal of Educational Psychology, 86, 193-203.

Решение: Постоянно осигурявайте на учениците си упражнения за изграждане на увереност, които изглеждат като предизвикателство, но дават възможност на всички да се справят.

Научни изследвания:

  • Margulis, H., Mccabe, P. (2006) Improving Self Efficacy and Motivation, Intervention in School and Clinic, 2006, Vol.41 No. 4, 218-227.
  • Humbre, R., (1990). The nature, relief and effects of mathematics anxiety. Journal for Research in Mathematics Education, 12(1), 33-46.

Бариера №2: Учениците, които се чувстват не достатъчно способни, по-трудно се въвличат в урока. Още в началното училище децата започват да вярват, че някои са по-добри или „по-умни“ по отношение на математиката.

Научни изследвания:

  • Henderlong Corpus, J., et. al. (2006). The effects of social-comparison versus mastery praise in children’s intrinsic motivation. Motivation and Emotion, 30, 335-345
  • Hong, E., Peng, Y., & Rowell, L. L. (2009). Homework self-regulation: Grade, gender, and achievement-level differences. Learning & Individual Differences, 19(2), 269-276.
  • Dweck, C.S. (1975). The role of expectations and attributions in the alleviation of learned helplessness, Journal of Personality and Social Psychology, 31, 674-684.
  • Dweck, C. S. (1999). Self-Theories: Their role in motivation, personality, and development. Philadelphia, PA: Psychology Press.
  • Dweck, C. S. (2006) Mindset: The New Psychology of Success, Random House, NY, 2006
  • Ma, X. & Xu, J. (2004). Determining the causal ordering between attitude toward mathematics and achievement in mathematics. American Journal of Education, 110, 256-280.

Решение: Преговаряйте изцяло основните умения и понятия преди да въвеждате нови теми, за да могат всички ученици да започнат от едно ниво. Давайте на по-неуверените ученици специалните „бонус“ въпроси, за да им помогнете да получат усещането за успех. Когато всички ученици се чувстват еднакво можещи, мозъците им работят ефективно и тогава всички проявяват склонност да станат еднакво можещи.

Научни изследвания:

  • Pashler, H., Bain, P., Bottge, B., Graesser, A., Koedinger, K., McDaniel, M., and Metcalfe, J. (NCER 2004-2007). Organizing Instruction and Study to Improve Student Learning. Washington, DC: National Center for Education Research, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education
  • Geary, D. C. (2006). Development of mathematical understanding. In W. Damon (Ed.), Handbook of child psychology (6th ed., Vol. 2, D. Kuhl & R. S. Siegler (Eds.). Cognition, perception, and language, pp. 777-810). New York: John Wiley & Sons.
  • Hutton, L. A., and Levitt, E. (1987). An academic approach to the remediation of mathematics anxiety. In R. Schwarer, H. M. van der Ploeg and C. D. Spielberger (Eds.), Advances in test anxiety research, Vol. 5, 207-211.
  • Humbre, R., (1990). The nature, relief and effects of mathematics anxiety. Journal for Research in Mathematics Education, 12(1), 33-46.

Бариера №3: Учениците, които вярват, че успехът зависи от вродените способности, се справят по-зле от тези, които вярват, че успехът зависи от полагането на усилия.

Научни изследвания:

  • Usher, E. L. (2009). Sources of middle school students’ self-efficacy in mathematics: A qualitative investigation. American Educational Research Journal, 46(1), 275-314.
  • Kamins, M. L. & Dweck, C. S. (1999). Person versus praise and criticism: implications for contingent self-worth and coping. Developmental Psychology, 35, 835-847.
  • Mueller, C. M. & Dweck, C. S. (1998). Praise for intelligence can undermine children’s motivation and performance. Journal of Personality and Social Psychology, 75, 33-52.
  • Licht, B. G. & Dweck, S. C. (1984). Determinants of academic achievement: the interaction of children’s achievement orientations with skill area. Developmental Psychology, 20, 628-636. Canadian Child Care Federation (CCCF).

Решение: Предоставяйте на учениците задачи с нарастваща трудност, за да им покажете, че могат да се справят с всяко предизвикателство благодарение на работата си. Учениците учат най-добре, когато им се позволява да предприемат умерени рискове и получават положителна обратна връзка.

Научни изследвания:

  • Pashler, H., Bain, P., Bottge, B., Graesser, A., Koedinger, K., McDaniel, M., and Metcalfe, J. (NCER 2004-2007) Organizing Instruction and Study to Improve Student Learning. Washington, DC: National Center for Education Research, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education.
  • Clifford, M. (2009). Students need challenge not easy success, Educational Leadership, September.

Бариера № 4: Изследванията показват, че учениците се нуждаят от много упражнения, за да овладеят добре новите понятия и умения, но те не винаги имат мотивацията да се упражняват.

Научни изследвания:

  • Anderson, J. R., Reder, L. M., & Simon, H. A. (2000). Applications and misapplications of cognitive psychology to mathematics education. Texas Educational Review, Summer.
  • Fuchs, L. S., Powell, S. R., Seethaler, P. M., Cirino, P. T., Fletcher, J. M., Fuchs, D., & Hamlett, C. L. (2010). The effects of strategic counting instruction, with and without deliberate practices on number combination skill among students with mathematics difficulties. Learning and Individual Differences, 20, 89-100.
  • Trautwein, U., & Lüdtke, O. (2009). Predicting homework motivation and homework effort in six school subjects: The role of person and family characteristics, classroom factors, and school track. Learning & Instruction, 19(3), 243-258

Решение: Не задължително упражненията да са скучни и досадни. Превърнете упражненията в игри, които увличат учениците и правят математиката забавна, като ги вплетете в упражнения, в които учениците се чувстват предизвикани, непрекъснато постигат все по-високи нива на успех и  получават моментална обратна връзка.

Научни изследвания:

  • Pashler, H., Bain, P., Bottge, B., Graesser, A., Koedinger, K., McDaniel, M., and Metcalfe, J. (NCER 2004-2007). Organizing Instruction and Study to Improve Student Learning, Washington, DC: National Center for Education Research, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education
  • Anderson, E. (1993). The role of deliberate practice in the acquisition of expert performance. Psychological Review, Vol. 100, No. 3, 363-406.

Бариера № 5: Мозъкът лесно се претоварва от твърде много информация. Математическите задачи, които са твърде сложни или съдържат твърде много контекст, както и текстовете, които съдържат твърде много нови идеи в една страница, могат да объркат и обезкуражат децата.

Научни изследвания:

  • Lee, K., Ng, E. L., & Ng, S. F. (2009). The contributions of working memory and executive functioning to problem representation and solution generation in algebraic word problems. Journal of Educational Psychology, 101(2), 373-387.
  • Sweller, J. (1988). Cognitive load during problem-solving: Effects on learning. Cognitive Science, 12, 257-285.
  • Marzocchi, G. M., Lucangeli, D., De Meo, T., Fini, F., & Comoldi, C. (2002). The disturbing effect of irrelevant information on arithmetic problem-solving in inattentive children. Developmental Neuropsychology, 21, 73-92.
  • McNeil, N. M., & Uttal, D. H. (2009). Rethinking the use of concrete materials in learning: Perspectives from development and education. Child Development Perspectives, 3, 137-139.

Решение: Научните изследвания показват, че „големите идеи“ трябва да се изграждат, систематично, от по-малки съставни идеи. Преподавайте като имате предвид по-голямата картина, но започнете като се уверите, че учениците овладяват съставните умения и понятия, от които имат нужда, на постижими етапи. С напредването на учениците, позволете им да изследват по-сложни или отворени задачи. Изследванията показват още, че концептуалните и процедурни знания се развиват итеративно, при което нарастването при единия тип знания, води до нарастване при другия. Ефективните уроци позволяват на децата да развиват и двата вида знания едновременно.

Научни изследвания:

  • Anderson, J. R., Reder, L. M., & Simon, H. A. (2000). Applications and misapplications of cognitive psychology to mathematics education. Texas Educational Review, Summer.
  • Gobet F. (2005) Chunking Models of Expertise: Implications for Education. Applied Cognitive Psychology, 19, 183-204.
  • Rittle-Johnson, B. Siegler, R. S. and Alibali, M.W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: an iterative process. Journal of Educational Psychology, 93, 346-362.

Бариера № 6: Учениците, които не умеят да четат добре или имат майчин език, различен от този, на който се преподава, лесно могат да се обезкуражат от твърде много текст и да превърнат езиковата бариера в бариера пред овладяването на математика.

Научни изследвания:

  • Nesher, P., Hershkovits, S., & Novotna, J. (2003). Situation model, text base and what else? Factors affecting problem solving. Educational Studies in Mathematics, 52, 151 – 176.
  • Adler, J. (1998). A language of teaching dilemmas: Unlocking the complex multilingual secondary mathematics classroom. For the Learning of Mathematics, 18(1), 24-33.
  • Kotsopoulos, D. (2007). Mathematics discourse: “It sounds like hearing a foreign language.” Mathematics Teacher, 101(4), 310-305.
  • Hayfa, N. (2006). Impact of language on conceptualization of the vector. For the Learning of Mathematics, 26(2), 36-40.
  • Jordan, N., Hanich, L., & Kaplan, D. (2000). A longitudinal study of mathematical competence in children with specific mathematics difficulties versus children with comorbid mathematics and reading difficulties. Child Development, 7, 834-850.
  • Rasanen, P. & Ahonen, T. (1995). Arithmetic disabilities with and without reading difficulties: a comparison of arithmetic errors. Developmental Neuropsychology, 11, 275-295.
  • Jordan, N. C., Huttenlocher, J. E., & Levine, S. C. (1992). Differential calculation abilities in young children from middle and low income families. Developmental Psychology, 28, 644-653.
  • Jordan, N. C., Huttenlocher, J. E., & Levine, S. C. (1994). Assessing early arithmetic abilities: effects of verbal and non-verbal response types on the calculation performance of middle- and low- income children.
  • Jordan, N. C., Levine, S. C., & Huttenlocher, J. E. (1994). Development of calculation abilities of middle- and low- income children after formal instruction in school. Journal of Applied Developmental Psychology, 15, 223-240.
  • Fuchs, L., Fuchs, D. & Prentice, K. (2004). Responsiveness to mathematical problem-solving instruction: comparing students at risk of mathematics disability with and without risk of reading disability. Journal of Learning Disabilities, 37, 293-306.

Решение: Сведете до минимум използването на текст в материалите, които учениците използват и въвеждайте езика постепенно и точно. Нека упражненията и дейностите, които включват дълги описания, бъдат част от Ръководството за учителя. Насърчавайте учениците да изказват на глас, това което мислят, но позволявайте използването на рисунки, цифри или устни отговори, когато писането е предизвикателство.

Научни изследвания:

  • Jordan (1992, 1994, 1994). The three papers referenced immediately above, show particularly well that allowing alternative (non-verbal) response modalities can reveal knowledge that would not be revealed if responses relied heavily on language.

Вижте още:

  • Uttal, D. H., Liu, L. L., & DeLoache, J. S. (2006). Concreteness and symbolic development. In L. Balter and C. S. Tamis-LeMonda (Eds.), Child Psychology: A Handbook of Contemporary Issues (2nd Ed.) (pp.167-184). Philadelphia, PA: Psychology Press.
  • Chamot, A., & O’Malley, J. M. (1994). The CALLA handbook: Implementing the cognitive academic language learning approach. Mass: Addison-Wesley Publishing Co.

Бариера № 7: Важно е математика да се преподава чрез използването на модели, но понякога конкретните материали могат да бъдат разсейващи или объркващи: учениците не учат особено ефективно чрез използването на манипулативи в неструктурирани уроци.

Научни изследвания:

  • Moyer, P. S. (2001). Are we having fun yet? How teachers use manipulatives to teach mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47, 175-197.
  • McNeil, N. M., Uttal, D. H., Jarvin, L., & Sternberg, R. J. (2009). Should you show me the money? Concrete objects both hurt and help performance on mathematics problems. Learning and Instruction, 19, 171-184.
  • Ball, D. L. (1992). Magical hopes: manipulatives and the reform of math education. American Educator, Summer edition.
  • Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., & Heckler, A. F. (in press). Transfer of mathematical knowledge: The portability of generic instantiations. Child Development Perspectives.
  • Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M, & Heckler, A. F. (2008). The advantage of abstract examples in learning math. Science, 320, 454-455.
  • Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., & Heckler, A. F. (2009). Concrete instantiations of mathematics: A double-edged sword. Journal for Research in Mathematics Education, 40, 90-93.
  • Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M. & Heckler, A. F. (2006). Do children need concrete instantiations to learn an abstract concept. In R. Sun and N. Miyake (Eds.). Proceedings of the XXVIII Annual Conference of the Cognitive Science Society (pp. 411-416).
  • Peterson, L. A. & McNeil, N. M. (2008). Using perceptually rich objects to help children represent number: established knowledge counts. In B. C. Love, K. McRae, & V. M. Sloutsky (Eds.), Proceedings of the 30th Annual Conference of the Cognitive Science Society (pp. 1567-1572). Austin, TX: Cognitive Science Society.

Решение: Използвайте прости модели или символично представяне, които позволяват на учениците ясно да видят математиката, но не и да се разсейват от детайли.  Използвайте различни конкретни онагледявания за понятията, но се уверете, че всяко онагледяване е внимателно и точно преподадено.

Научни изследвания:

  • Noss, R., Healy, L., & Hoyles, C. (1997). The construction of mathematical meanings: Connecting the visual with the symbolic. Educational Studies in Mathematics, (33), 202-233.
  • McNeil, N. M., & Uttal, D. H. (2009). Rethinking the use of concrete materials in learning: Perspectives from development and education. Child Development Perspectives, 3, 137-139.
  • Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M, & Heckler, A. F. (2008). The advantage of abstract examples in learning math. Science, 320, 454-455.
  • Neil, N. M. Mc& Jarvin, L. (2007). When theories don’t add up: Disentangling the manipulatives debate. Theory Into Practice, 46, 309-316.
  • Uttal, D. H., Scudder, K. V., & DeLoache, J. S. (1997). Manipulatives as symbols; a new perspective on the use of concrete objects to teach mathematics. Journal of Applied Developmental Psychology, 18, 37-54.
  • Moreno, R., Ozogul, G., Riessleir, M. (2011) Teaching with concrete and abstract representations: Effects on students’ problem solving, problem representations and learning perceptions, Journal of Educational Psychology, Vol. 103, Issue 1, February. P 32-47

Бариера №8: Учениците, които не са овладели основните математически факти и действия с числа и те не са станали част от дългосрочната им памет, трябва да разчитат на краткосрочната си памет, при което тя се оказва недостатъчна за решаването на задачи. Освен това, учениците, които не са овладели основните математически факти и действия с числа, трудно откриват математически закономерности и правят преценки и предвиждания.

Научни изследвания:

  • Fuchs, L.S., Fuchs D., et al (2006) The cognitive correlates of third grade skill in arithmetic, algorithmic computation and arithmetic word problems, Journal of Educational Psychology, 98, 29-43
  • Geary, D.C., Mathematical difficulties: cognitive, neuropsychological and genetic components, Psychological Bulletin, 1993, Vol.114, No.2, 345-362
  • Heirdsfield, A. M., & Cooper, T. J. (2004). Factors affecting the process of proficient mental addition and subtraction: Case studies of flexible and inflexible computers. The Journal of Mathematical Behavior, 23, 443-463.
  • K. S. McGrew, R. W. Woodcock, Woodcock-Johnson III Technical Manual (Riverside Publishing, Itasca, IL, 2001). The technical manual for the Woodcock-Johnson III Test of Achievement Battery – a widely used and recognized battery of achievement tests – shows that performance on math fluency and calculation subscales is significantly, positively correlated with performance on the applied problems subscale, suggesting that fluency may be critical for freeing up resources to attend to conceptual processing and to making mathematical discoveries (e.g. the correlations are .46 and .57 for math fluency and calculation, respectively for children aged 9-13, see page 170). This reference is provided as an example – these findings are not unique to the WJ-III.

Решение: Нека упражненията за смятане наум, като тези от Ръководствата за учителите от JUMP Math, станат част от урока. Позволете на учениците да разработят свои собствени стратегии за изчисляване, но не пропускайте да преподадете основните операции точно и ясно, за да могат учениците добре да ги овладеят и да разбират как работят.

Научни изследвания:

  • Foundations for numeracy: An Evidence-based Toolkit for the effective mathematics teacher. Ottawa: CCCF. Child 92. Psychology and Psychiatry, 35, 283-2Canadian Child Care Federation (CCCF), 2010.
  • Murata, A., & Fuson, K. (2006). Teaching as assisting individual constructive paths within an interdependent class learning zone: Japanese first graders learning to add using 10. Journal for Research in Mathematics Education, 37(5), 421-456.

Бариера №9: Учениците често запаметяват правила или процедури без да ги разбират. Това може да им позволи да отговарят на въпроси, зададени в ограничен диапазон, но да им липсва истинското разбиране: математиката често няма смисъл.

Научни изследвания:

  • Carraher, T. N. Carraher, D. W. & Schliemann, A. D. (1985). Mathematics in the streets and in schools, British Journal of Developmental Psychology, 3, 21-29.

Решение: Използвайте “насочваното откривателство”, за да постигнете разбиране в дълбочина: преподавайте уроците на стъпки, които са част от подкрепяща структура, така че едно понятие естествено да води към следващото, а учениците да разполагат с достатъчно упражнения, за да овладеят понятията; същевременно им позволявайте да откриват връзките между идеите колкото може по-самостоятелно.

Научни изследвания:

  • Sweller, J. (1988). Cognitive load during problem-solving: Effects on learning. Cognitive Science, 12, 257-285.
  • Sweller, J., van Merriënboer, J. J. G., & Paas, F. (1998). Cognitive architecture and instructional change. Educational Psychology Review, 10, 251-296.
  • Van Merriënboer, J. J. G., & Sweller, J. (2005). Cognitive load theory and complex learning recent developments and future directions. Educational Psychology Review, 17, 147-177.
  • Ross, P. (2006). The Expert Mind, Scientific American, July.

Бариера №10 За да бъдат успешни в по-горните класове, учениците трябва да овладеят добре основните умения и понятия, които се преподават в началното училище. Много са учениците, които никога не овладяват тези умения и понятия, въпреки че по-голямата част от тях са напълно способни да го направят.

Научни изследвания:

  • Rittle-Johnson, B., & Kmicikewycz, A. O. (2008). When generating answers benefits arithmetic skill: The importance of prior knowledge. Journal of Experimental Child Psychology, 101, 75-81.

Решение: Осигурете на учителите материали и обучение, които им позволяват постоянно да оценяват какво знаят учениците им, както и да преподават основните умения и понятия ефективно (вкл. и експлицитно, ако е необходимо).

Научни изследвания:

  • Feifer, S, et al. (2005). The Neuropsychology of Mathematics: Diagnosis and Intervention. Riverside, CA: RET Centre.
  • Kirschner, P. A., Sweller, J., & Clark, R. E. (2006). Why Minimal Guidance During Instruction Does Not Work: An Analysis of the Failure of Constructivist, Discovery, Problem-Based, Experiential, and Inquiry-Based Teaching. Educational Psychologist, 41(2), 75 – 86.
  • J. Bisanz et al. (2010). Foundations for numeracy: An Evidence-based Toolkit for the effective mathematics teacher. Canadian Child Care Network and Canadian Language and Literacy Research Network.