Warning: getimagesize(/home/prog5zt4/public_html/wp-content/uploadshttps://www.progresivno.org/wp-content/uploads/2021/07/Свети-Влас.jpg): failed to open stream: No such file or directory in /home/prog5zt4/public_html/wp-content/themes/Total/framework/classes/image-resize.php on line 103
Свети Влас

Всеки може да разбере математиката

Гл. ас. д-р Лъчезар П. Томов

Математиката в училище в голяма степен се състои в механично преподаване на алгоритмични действия – събиране, умножаване, изваждане, деление, решаване на уравнения, преобразуване на изрази. Част от учениците искат първо да разберат смисъла на това, което правят, за да могат да го направят добре, докато други свикват да изпълняват указанията на учителя и да решават по правилата на „играта“, която за тях математиката представлява. Формалисткият подход към математиката е именно това – тя представлява игра, изпълнявана по конкретен набор от правила, затова се повтаря, докато се свикне с нея:

 „Млади човече, математиката не се разбира, с нея просто свикваш.“ – Джони фон Нойман, в отговор на физик, който казал, че не разбира метода на характеристиката.

Много от тези ученици съумяват да ползват в живота си част от заучените в училище навици, но рядко има някаква истинска полза за начина им на разсъждение, за интелигентността им, за способността им да решават проблеми, с  които не са се сблъсквали преди – най-малкото, ако не са имали допълнителни занимания, които да протичат по коренно противоположния път – от разбирането към прилагането. За някои от учениците, които наистина искат да разберат, обаче, проблемите често са непреодолими и те намразват предмета, по който биха могли да са най-силни – защото тези, които искат да разберат, са бъдещите учени – създатели на новото в науката. Те решават, че нямат такива способности да разберат математиката. Това е и мнението на хората в Западното полукълбо – това са вродени, специални способности, или го можеш, или не.

Какво обаче мислят някои от най-добрите математици по тази тема?

За А. Н. Колмогоров ролята на специалните математически способности е силно преувеличена за училищната и части от висшата математика:

Необходимостта от специални способности за учене и разбиране на математиката често е преувеличена. Впечатлението за изключителната трудност на математиката понякога се създава от лошото ѝ, твърде формално изложение в урока. При преподаване с добри насоки или добри книги, обикновените средни човешки способности са напълно достатъчни, за да се овладее не само математиката в гимназията, но и да се разберат например принципите на диференциалното и интегрално смятане.

Той все пак отчита, че съществуват различно надарени ученици и някои биха могли много по-лесно от други да станат професионални математици. Но това не отменя факта, че в училище и в първите два курса на университета повечето могат да се справят според него.

Подобни проблеми имат не само учениците – дори професионалните математици стигат до момент, в който решават, че са намерили границите на своите способности. Според Роджър Пенроуз това обикновено е самозаблуда:

„Познавам математици, които твърдят, че има математически аргументи, лежащи отвъд тяхната сфера на компетентност: „Знам, че никога няма да мога да проумея това, без значение колко дълго се опитвам; този тип разсъждения са напълно отвъд моите възможности“ … В действителност най-често причината е в неясния стил на изложение, или ограничените способности на преподавателите, поради които даденият проблем води до отчаяние определен математик, макар и да не демонстрира същностната ограниченост на възможностите му.“

Роджър Пенроуз, Сенки на Ума

Същностната неспособност да се разбере математика от даден интелект е нещо много различно от усилията, които се изискват за това. Хората, които смятат, че изобщо не могат да научат математика, по същество отричат възможността за създаване на силен изкуствен интелект или отричат поне своя интелект като цяло.

Често тази инатливост по отношение на предмета математика се дължи на някой учител или система на преподаване, които са внушили на детето, че то е принципно неспособно, защото не се е справило с някакво трудно за него предизвикателство. Връзката на ученика с математиката е емоционална, защото минава през връзката му с учителя.

Математиката не се дава, тя се взима – трябва да стигнеш сам до нейните истини, за да я разбереш в дълбочина. Да можеш да пресъздадеш някое откритие, дори и да е просто като доказателството, че простите числа са безкрайно много, или формулата за сбора на естествените числа – едното е проява на логика, а другото – на индукция (обикновената, не математическата).

Да мислиш логично и да обобщаваш коректно – това са двете страни на математиката и на това тя учи децата, когато ѝ се позволи от учителя и системата на преподаване.

Математиката предлага не само сложни понятия, групи, категории, класове, множества и релации, и абстрактни обекти като точките, правите и равнините. Понякога откритията в нея имат концептуална трудност. Геометрията на Евклид, свързана с плоското пространство, дълго време е била смятана за единствената възможна и откритието на неевклидовите геометрии като тези, които важат на повърхността на сферата и в които можеш да имаш триъгълник с три прави ъгъла, хвърлило в шок много от математиците и първоначално Лобачевски се срещнал с пълно неразбиране:

„За днешния читател четиримерната геометрия навярно не изглежда парадоксална. Но когато Лобачевски представил своя труд за преценка от математиците, един от тях написал през 1834 г. в списанието „Син Отечества“: „Мнозина от нашите първокласни математици я четоха и нищо не разбраха. След това вече не считам за нужно да спомена, че и аз, след като мислих над книгата известно време, нищо не измислих, т.е. не разбрах почти нито една мисъл…“ Днес едва ли ще каже така дори ученикът.“

Я. А. Смородински, „Физика на сложните системи“, 1980, Народна Просвета


Триъгълник с три прави ъгъла със страни два меридиана и един паралел, „Черни дупки и геометрия на Вселената“

Луис Карол (Чарлз Доджсън) така и не приел неевклидовите геометрии, заради възможността да съществуват идеални триъгълници, чиито върхове са „идеални точки“, стоящи на безкрайно разстояние една от друга. Идеалните точки са безкрайно отдалечените места, на които се пресичат успоредните прави, които в нито една крайно отдалечена точка не могат иначе да се пресекат. Идеалните триъгълници така имат безкрайна обиколка при крайно лице.


Идеални триъгълници върху диск на Поанкаре – хиперболична, „вдлъбната“ геометрия (например вътрешната страна на повърхността на Земята)

Математиката в училище може да бъде разбираема за всеки

Интелигентният човек, когато се сблъска с нещо, което не разбира, първо се усъмнява в себе си и своите способности, ако произхожда от култура, в която се смята, че всичко е закодирано в гените ни и средата играе малка роля. Именно някои от децата, които биха могли да бъдат сред най-добрите, са тези, които решават, че математиката не е за тях, защото не са разбрали нещо от нея. Ако успеят да стигнат до нивото на професионалния математик, те ще разберат, че състоянието на неразбиране е постоянно и неотменно – но за нови неща, все по-интересни, абстрактни и понякога – концептуално сложни.

Математиката в училище обаче може да бъде разбираема за всеки. Съвременните учители новатори, доверили се на системата JUMP Math, доказват това в практиката си и успехите на учениците не закъсняват. JUMP Math се базира на най-модерните когнитивни изследвания и на новаторски подходи, които сработват в класните стаи за всички деца. Учителите разполагат с подробни сценарии на всички уроци, а учениците изследват и изграждат увереност, напътствани и окуражавани в подкрепяща и спокойна среда още от най-ранна възраст.

А за нас по-големите – когато не разбираме нещо, нека се опитаме да разберем съмнението си – дали се съмняваме, защото не сме се задълбочили достатъчно в материята и това е, което ни води към лабиринта на неразбирането?! И накрая, нещо за разведряване 🙂 – „съмнявам“ се и „съмна се“ са от един корен (каквото и да казват филолозите) – нека не се суетим в съмнения прекалено дълго, а да търсим отговорите като се задълбочим в самата материя.


Гл. ас. д-р Лъчезар П. Томов – за „Институт за прогресивно образование“