Warning: getimagesize(/home/prog5zt4/public_html/wp-content/uploadshttps://www.progresivno.org/wp-content/uploads/2021/03/keith-devlin_0500x0361.jpg): failed to open stream: No such file or directory in /home/prog5zt4/public_html/wp-content/themes/Total/framework/classes/image-resize.php on line 103
Keith Devlin

„В математиката трябва да помните, по други предмети можете да разсъждавате.“ Какво правим грешно?

Статия от Кийт Девлин – проф. в Станфордски университет; превод: Ани Николова, ученичка от 11а клас, НГДЕК; научен редактор: гл. ас. д-р Лъчезар П. Томов

„Тази статия на Кийт Девлин осветлява един от ключовите проблеми в образованието по математика – преподаването ѝ като колекция от умения, а не като система от методи за откриване и доказване на твърдения и за решения на проблеми. Кийт Девлин е един от най-големите специалисти в света в педагогиката и математическото образование, математик-изследовател и професор в Станфорд. В публикацията си Девлин се позовава и цитира изключително ценните, не само за времето си, а и за съвремието ни проучвания и трудове на неговата колега от Станфорд – Джо Боyлър. Изводите от тези проучвания са релевантни за България в днешно време и показват посоката, в която трябва да се случат необходимите реформи в образованието.

Това е посоката, в която Институт за прогресивно образование (ИПО) работи усилено и допринася вече 10 години със значими реални стъпки – за свободно избиране на методите на преподаването и учебното съдържание. ИПО реализира програмата JUMP Math – иновативна система за обучение по математика, която дава на учителите солидна подготовка и ценни инструменти и ресурси за новия прогресивен модел на учене на математика в начален етап. Паралелно с това ИПО развива богата платформа от обучителни програми за квалификация на педагогически специалисти – Училище за учители, която обхваща актуални за съвремието ни теми посветени на разгръщането на пълния потенциал на учителя, чрез холистичен подход и позиционирането му като най-значима фигура в прогресивния образователен модел, който поставя в центъра на образователния процес – детето.“

Бележка от редактора – гл. ас. д-р Лъчезар П. Томов


„В математиката трябва да помните, по други предмети можете да разсъждавате.“[i]

Заглавието на статията е изявление на ученичка от гимназията, по-надолу в текста ще стане дума за това.

Съединените щати се представят много по-зле от повечето си икономически конкуренти по математически показатели на учениците от гимназията. Правени са много опити за подобряване на това мрачно представяне, но без успех. Според мен (и не само аз мисля така) причината е ясна -всички тези опити са фокусирани върху подобряване на основните математически умения, а акцентът трябва да бъде на друго място.

Математиката е начин на мислене за задачите и проблемите в света. Изградете правилното мислене и уменията до голяма степен ще дойдат сами.

Многобройни проучвания през последните тридесет години показват, че когато хора, на каквато и да е възраст и ниво на способност, са изправени пред математически предизвикателства, които се появяват естествено в реалния значим за тях контекст, като резултатът има пряко значение за тях – те бързо постигат високо ниво на компетентност. Колко високо – 98%, толкова високо. Описвам някои от тези проучвания в моята книга The Math Gene (Basic Books, 2000). Също така давам обяснение защо същите тези хора, когато са поставени пред същите математически предизвикателства в традиционния модел в класната стая с хартия и молив, се представят на ниското ниво от 37%.

Доказателствата са ясни. Не че хората не могат да мислят математически. Просто те имат огромни проблеми да го правят в деконтекстуализирана, абстрактна обстановка.

И така, защо фокусът продължава да е върху техническите умения? – Тъй като много хора, дори тези, които са с власт и влияние, не само не са напълно наясно с констатациите, които току-що споменах, но те дори не разбират какво е математиката и как работи. Всичко, което виждат, са уменията и те погрешно мислят, че това е математиката. Като се има предвид, че за повечето хора последната им близка среща с математиката е била училищен час по математика, основан на умения[ii], не е трудно да се разбере как възниква това погрешно схващане. Объркването на математиката с владеенето на умения е същото като схващането, че архитектурата е зидария или объркването, че музиката е овладяването на музикалната скала.

Разбира се основните умения са важни, но те са просто инструментите за математическо мислене. В предкомпютърната ера индустриално общество като Съединените щати се нуждаеше от голяма работна сила, от хора, владеещи основни математически умения, които да могат да изпълняват задачи, възложени им от други. Но в днешното работно място на пиадестал е творческото решаване на проблемите, обикновено съвместно – в групи, като се използва математическо мислене, при необходимост.

Колко добре подготвяме днешните ученици за живота в тази среда? Как да се сравним с държавите конкуренти?

Отговорът е, че не ги подготвяме добре. В международно проучване, проведено през 2003 г., ученици от четиридесет държави бяха попитани дали са съгласни или не с твърдението: „Когато уча математика, се опитвам да науча отговорите на задачите наизуст“. Сред всички ученици средно 65% не са съгласни с това твърдение – което е обнадеждаващо, тъй като това е безнадежден начин да се научи математика – но 67% от американските деца са съгласни с него[iii]!

И така, какво правим грешно?

Хората не са съгласни по всички въпроси, но изглежда има широк (макар и не универсален) консенсус по три основни причини:

  • Нашата учебна програма по математика (всъщност това са учебни програми, тъй като всеки щат има своя собствена, но констатацията се отнася за всички) съдържа твърде много задължителни теми, всяка от които може да бъде преподавана само повърхностно – проблемът „надълго и нашироко“;
  • Прекалено много учители по математика не разбират добре предмета, който преподават;
  • В повечето класни стаи математиката се преподава по строго определени, неизменни правила.

Това предупреждение, което направих относно съгласието, че тези три фактора не са универсални, важи преди всичко за последния елемент от този списък. Влезте във всяка американска класна стая по математика и ще бъдете посрещнати от една от двете много различни сцени.

В първата сцена, най-често срещаната, ще видите учениците да седят в спретнато организирани редици, обърнати към учителя, който стои отпред. На бюрото пред всеки ученик най-вероятно ще видите учебник, тетрадка, химикал или молив и може би калкулатор. В началото на всеки клас учителят ще прекара известно време на бялата дъска, обяснявайки някакво ново правило или техника и работейки през един или два примера. След това учениците ще отворят своите учебници и ще продължат да работят чрез редица зададени примери, чиито решения изискват току-що показаната техника. Те в по-голямата си част ще работят сами и в мълчание. Когато срещнат проблем, те ще се обърнат за помощ към учителя, а не един към друг. Когато изпълнят задачата, цикълът започва отначало. Този метод на преподаване е известен като „традиционният подход“. Това е подходящо име, тъй като се използва от началото на математиката преди около три хиляди години.

Другата, по-рядко срещана сцена изглежда много по-хаотична. Групи от ученици седят около кръгли маси, обсъждайки как да се реши конкретен проблем, или заставайки до бялата дъска, спорейки за най-добрия начин да продължите. Учителят се движи из стаята, като говори на свой ред с различните групи, прави предложения как да постъпи или посочва възможни грешки в определен ред от мотиви, които учениците следват. Понякога учителят ще помоли една група да обясни своето решение на останалата част от класа и ще изнесе кратка мини-лекция за определена концепция или метод. Това понякога се нарича „прогресивен подход“.

Въпросът кой е по-добрият метод е в основата на скандалните „математически войни“, които бушуват в Калифорния и Ню Йорк (в частност). Въпреки че можете да намерите същите два педагогически подхода в много страни, само в САЩ въпросът се превърна в проблем за ожесточени и често гневни дебати. Като аутсайдер, идващ от Обединеното кралство в много напреднал период от кариерата ми, това, което ме порази от самото начало, беше, че голяма част от дебата минава в подкопаване и омаловажаване на аргументите на опонента, за да бъде разобличен. Учителите традиционалисти биха били обвинени, че не правят нищо, освен да тренират безмилостно учениците си в основни процедурни умения, без да обръщат внимание на развитието на математическите концепции, докато прогресивистите ще бъдат изгорени на клада, защото не оценяват основните умения (или не виждат необходимостта да ги практикуват) и дават разводнено съдържание на учениците, пълно, с добри намерения, но в което няма истинска математика. Несъмнено можете да намерите примери за всеки тип, но в по-голямата си част тези стереотипи съществуват само в съзнанието на критиците, които правят тези изявления, и нито едно от тях не се доближава до истината. По-скоро това, което откривате, са хиляди учители, които правят всичко възможно, опитвайки се да балансират необходимостта от концептуално разбиране с необходимостта да се упражняват основни умения, но несигурни кой е най-добрият начин да продължат, особено когато става въпрос за мотивиране на своите ученици. Междувременно, при липса на ясни доказателства за това как най-добре да се процедира, повечето учители съвсем разбираемо се опират повече или по-малко на същите методи на преподаване, които самите те са имали. Преобладаващо това е традиционният метод, въпреки факта, че никой не е успял да накара този подход да работи (за по-голямата част от учениците) от три хиляди години, което ни кара и да се чудим дали има по-добър начин.

Сега най-накрая има доказателства и се събират още. Това означава, че първичните виждания и сляпата вяра най-накрая могат да започнат да бъдат заменяни от обоснован избор, основан на доказателствата. Това със сигурност ще се случи, но колко време ще отнеме след толкова ожесточена битка, предстои да разберем. Най-вероятно конфликтът ще бъде напълно разрешен едва след като това стане с с някои от по-видните поддръжници. Междувременно се очаква постепенна промяна, тъй като все повече учители, родители и политици стават наясно с нарастващия обем доказателства.

Един от изследователите, който търпеливо събира тези данни, е Джо Боyлър и наскоро тя публикува кратко, четимо резюме на някои от нейните открития под формата на книга: Какво общо има това с математиката?[iv] Въпреки че е написана за родители, вярвам, че книгата на Боулър трябва да се чете от всички, занимаващи се с математическо образование. Може да се усъмните в някои от нейните заключения. И наистина някои го направиха, когато нейната работа за първи път стана известна в САЩ, около 2003 г., въпреки че последващите й изследвания, според мен, отговориха на някои от повдигнатите въпроси. Но в област като математическото образование, където е трудно да се получат убедителни твърди доказателства и където по-голямата част от твърденията за ефикасността на различни педагогики се основават на нищо повече от екстраполация от личен опит (на учителя, а не на ученика), всяко задълбочено проучване като нейното заслужава да бъде сериозно обмислено. Не на последно място, защото Боулър фокусира своето проучване не върху учителите, а върху обучаваните ученици. Скорошната й книга формира основата за останалата част от това есе. Цитатът, който взех за заглавието си, можете да намерите на страница 40.

Боулър започва кариерата си като учител по математика в родното си Обединено кралство, прехвърля се в академичните среди (Лондонския университет) и в продължение на няколко години е професор по математическо образование (а оттам и мой колега) в Станфорд. След това, през 2006 г., тя се завърна във Великобритания, за да заеме новосъздадената катедра „Мария Кюри“по математическо образование в Университета в Съсекс в Англия. Това лято тя се завръща в Станфорд, където я очакваме с нетърпение.

В продължение на много години Боулър провежда интервюта със стотици ученици както от традиционно преподаваните часове по математика, така и от тези с по-прогресивен подход. Един от въпросите, които тя им задава, е: „Какво е необходимо, за да имаш успех в математиката?“ Един от най-често срещаните отговори, които тя получава от ученици, на които се преподава по традиционен начин, е да й посветиш много внимание.

Сред другите отговори, които Боулър получава в училища с традиционна педагогика, които цитира в своята книга, е [стр.41]:

„Просто не съм заинтересован, първо Вие ми давате формула, трябва да запомня отговора, да го приложа и това е всичко.“

Друг интервюиран ученик – Ребека, е добросъвестна, мотивирана и умна и редовно постига оценки 6+ по математика. Тя успява да следва методите, които нейният учител демонстрира в клас, и може да ги възпроизведе перфектно. Но тя не разбира какво прави и в резултат на това се мисли за слаба в математиката. Когато Боулър я пита защо мисли така, тя отговаря: „Защото не мога да си спомня добре нещата и има толкова много неща за запомняне.“ [стр.164.]

Училището до коловозите

За период от четири години Боулър проследява напредъка на 700 ученици в гимназиален етап в три гимназии. Една от трите е „Гимназия Рейлсайд“ (това не е истинското ѝ име). Това е училище в градска среда, близо до железопътна линия. За първи път тя посещава училището през 1999 г., след като чува, че постигат забележителни резултати, въпреки лошото местоположение и опустошения външен вид на училищните сгради.

Редица характерни неща открояват Рейлсайд. Първо, учениците изобщо не са групирани по ниво, като всички вземат алгебра като първи курс, а не само учениците с по-висок успех. Второ, вместо да преподават поредица от методи, като факторизиране на полиноми или решаване на неравенства, училището организира учебната програма около по-големи теми, като „Какво е линейна функция?“. Учениците се научават да използват различни видове представяне, думи, диаграми, символи на таблици, предмети и графики. Те работят заедно в групи със смесени способности, като отличниците си сътрудничат с тези с по-слаб успех и е очаквано и насърчавано да обясняват работата си един на друг. [стр.58-68]

Родителите, чието собствено обучение по математика е по-традиционно – като учениците да седят на редици, в класове, предаване според способностите, учителите да им показват методи и след това да работят безшумно сами (практически всички родители) – често е трудно да повярват, че този подход би могъл да работи. Те вярват, че разхлабената структура ще означава, че децата няма да овладеят уменията достатъчно добре, за да преминат тестове и че присъствието на по-слаби ученици ще повлече по-добрите. Често те поддържат това убеждение, въпреки че свободно признават, че традиционният подход не е работил за тях и противно на собствения им опит всеки ден на работа, където в продължение на много години те са разбрали, че

съвместната работа е много ефективна и че когато някой, който знае как да направи нещо помага на някой, който не го прави, и двамата се учат и се възползват от опита.

През деветнадесети век и голяма част от двадесети, повечето индустриални работници наистина са работили тихо и сами, в големи открити офиси или на поточни линии, под надзора на мениджър. Училищата, които винаги са били предназначени да подготвят децата за живот като възрастни, са били структурирани по подобен начин. Важен житейски урок е да можеш да следваш правилата и да мислиш по общоприетия начин. Но днешният свят е съвсем различен – поне за тези от нас, които живеем във високо развити общества. Компаниите отдавна са възприели нови, по-колаборативни начини на работа, където творческото решаване на проблеми е ключът към успеха – поне за тези, компании, които не са излезли от бизнеса – но като цяло училищата все още не са осъзнали, че трябва да се променят и да започнат да работят по подобен начин.

Разбира се, както предполагат много родители, може да е различно в училищата. В крайна сметка те ще спорят, че това, което работи за възрастните, може да не е успешно за децата. Това е справедлива загриженост. Това е притеснение, което се разглежда пряко от констатациите на Боулър.

Другите две училища, които Боулър изучава заедно с Рейлсайд, са в по-заможни крайградски условия и учениците започват с по-високи математически постижения от тези в градското училище. Тъй като тези две училища са с традиционна форма на обучение, Боулър успява да сравни резултатите на учениците през всичките четири години на гимназията. До края на първата година тя установява, че учениците от Рейлсайд постигат същите нива като учениците от предградията на тестове по алгебра. До края на втората година, учениците от Рейлсайд превъзхождат своите колеги в двете крайградски училища както по алгебра, така и по геометрия. До последната си година 41% от учениците в Рейлсайд са в напреднали класове по основи на анализа и анализ, в сравнение с едва 23% от учениците от другите две училища в по-богатите квартали.

Нещо повече, учениците от Рейлсайд се научават да се наслаждават на математиката и я намират за полезна. Когато Боулър и нейният екип интервюират 105 ученици (главно пълнолетни) за техните бъдещи планове, 95% от учениците от двете крайградски училища заявяват, че не възнамеряват да се занимават с математика като предмет, дори тези, които са успели. В Рейлсайд 39% заявяват, че планират да преминат допълнителни курсове по математика.

Когато Боулър посещава клас, в който се преподава по подхода на Рейлсайд, и пита учениците върху какво работят, те описват проблема и как се опитват да го разрешат. Когато тя задава същите въпроси на учениците, обучавани по традиционния начин, те обикновено и казват на коя страница от книгата са. Когато тя ги пита: „Но какво всъщност правите?“ те отговарят „О, аз правя номер 3“. [стр.98]

Британците правят същата грешка

Преди да дойде в Станфорд, докато тя все още работи в родното си Обединено кралство, Боулър започва подобно проучване, сравнявайки две много различни училища, които тя нарича Феникс Парк (в района на работническата класа) и Амбър Хил (намиращ се в по-богат квартал). Първото възприело съвместен подход, основан на проекти, подобен на Рейлсайд, а второто – по-традиционната педагогика. [стр.69-83]

Боулър избира тези две училища, тъй като, въпреки че са в различни социални региони, приемът им за ученици е демографски много сходен, постъпващите им ученици на тринадесетгодишна възраст са преминали един и същ образователен подход, а учителите в двете училища са добре квалифицирани. Една разлика между английските училища и тези в Калифорния е, че Великобритания не следва идиотската практика на САЩ да разделя математиката на отделни под-предмети, като Алгебра I, Алгебра II или Геометрия; по-скоро просто учат математика. Въпреки това, много прилича на проучването, което тя е провежда в Калифорния и резултатите са поразително подобни.

Във Финикс Парк учениците получават значителна свобода в часовете по математика. Обикновено им се дава избор между различни проекти, по които да работят, и се насърчават да решат естеството и посоката на своята работа. Един ученик обяснил на Боулър как са работили със следнитедуми: [стр.70]

„Обикновено първо ни задават задача и ни учат на уменията, необходими за изпълнението на задачата, а след това продължаваме със задачата и молим учителя за помощ.“

Друг описва процеса по следния начин: [стр.70]

„Просто се задава задачата и след това се заемате с нея … изследвате различните неща и те ви помагат в това … така че различните умения се комбинират за решаване на различните задачи.“

В една задача, която Боулър описва, на учениците просто им е казано, че определен обект има обем 216 (безразмерни единици), и са помолени да опишат как може да изглежда. В друга, на учениците се казва, че един фермер има дълги тридесет и шест метра ограда и са помолени да намерят най-голямата площ, която оградите могат да оградят. Ако смятате, че някоя от тях е „повърхностна“ или „не е истинска математика“, тогава почти сигурно сте живото доказателство, че традиционното обучение по математика замърсява ума, за да не види многото възможности, които всяка задача предлага, и количеството математическо мислене, необходимо за извършване на изследването. В книгата си Боулър скицира част от творческото мислене, което учениците от Финикс Парк внасят в двете задачи, и резултатите от обучението по математика. Според мен това, което тя описва, е ранното развитие на съвместни творчески умения за решаване на проблеми, които са от съществено значение в днешния свят. Както един студент й обяснил: [стр.74]

„Ако намерите правило или метод, трябва да се опитате да го адаптирате към други неща.“

Докато учениците от Парк Финикс откриват, че математиката е предизвикателна и забавна, осигурявайки отлично задоволяване на тяхното естествено човешко любопитство, нещата в Амбър Хил вървят съвсем различно. Там учениците работят усилено, но повечето от тях не харесват математиката. Те започват да вярват, че математиката е предмет, който включва само запаметяване на правила и процедури. Както се изразил един ученик: [стр.75]

„В математиката има определена формула, до която да стигнем, да речем от А до Б, и няма друг начин да я получим. Или може би има, но трябва да запомните формулата, трябва да я запомните.“

Именно от Амбър Хил е студентката, предоставила на Боулър цитата, който използвах за заглавие на тази публикация.

Въпреки че учениците от Амбър Хил прекарват повече време в решаване на задачи от своите колеги във Финикс Парк, те смятат, че математиката е набор от правила, които трябва да се запомнят. Успешните правят това не чрез разбиране на математическите идеи, а като се научават да следват указания. Най-голямото указание, което им казва как да решат проблем, е методът, който учителят току-що е обяснил на дъската, или работещият пример, който непосредствено го предшества в учебника. Друго указание е да се използва цялата информация, предоставена във въпроса, но нищо друго.

Тази стратегия може да работи добре до изпита в края на годината, където тези указания не присъстват. Предсказуемо дори онези ученици от Амбър Хил, които се справят добре през срока, се представят зле на тези изпити. И на националните изпити, които всички британски ученици полагат на шестнадесетгодишна възраст, учениците от Финикс Парк с лекота ги превъзхождат. Изправен пред проблем, който не са разпознали като познат тип, ученик от Амбър Хил може да замръзне или напразно да се мъчи да запомни правилната формула, докато учениците от Финикс Парк се опитват да го осмислят и да адаптират метод, който според тях може да сработи.

В допълнение към обучението в класната стая в двете училища, Боулър интервюира учениците и за използването на математика извън училище. По това време много от тях работят в почивните дни. Всички четиридесет интервюирани от Амбър Хил декларират, че никога, никога няма да използват научените от тях методи вситуация извън училище. За тях това, което са ги учили в часовете по математика, е странен вид код, който може да се използва само на едно място – в математическата класна стая. За разлика от тях, учениците от Финикс Парк са уверени, че ще използват методите, които са научили в училище, и й дават примери за това как вече са използвали научената им в училище математика в работата си през уикенда.

В последващо проучване, което тя провежда няколко години по-късно, Боулър изследва двадесет и четири годишните възпитаници от Финикс Парк и Амбър Хил. Когато са били на училище, социалната им класа, определена от работата на родителите им, е била еднаква и в двете училища. Но осем години по-късно младите хора от Финикс Парк работят на по-висококвалифицирани или професионални работни места от младежите от Амбър Хил. Демонстрирайки как доброто образование може да доведе до социална мобилност нагоре, 65% от младежите от Финикс Парк са били на по-квалифицирани работни места от родителите си, в сравнение с 23% от възпитаниците на Амбър Хил. Всъщност 52% от възпитаниците в Амбър Хил са били на по-малко квалифицирана работа от родителите си, в сравнение с едва 15% от завършилите Феникс Парк. [стр.80-83]

Разбира се, няма да получите тази информация от четенето на компютърно генерирани резултати от стандартизираните тестове, така обичани от образователната система на САЩ. Боулър не намира данните си, като гледа в екрана на компютъра. Тя излиза и разговаря с хората, които са свързани с образованието: учениците и тези, които са били ученици. Питам ви, коя е по-важната информация: резултатът от стандартизиран писмен тест, положен в края на образователен епизод, или ефектът, който образователният етап е оказал върху съответното лице? Като родител (ако сте такъв), кое изявление би ви задоволило повече?:

  • „Поради доброто преподаване детето ми получи 79% на последния си тест по математика.“

или

  • „Поради доброто преподаване детето ми има много по-добра работа и води далеч по-интересен и по-ползотворен живот от мен.“

Разбира се, преподаването на математика по прогресивен начин изисква учители с повече математически познания, отколкото традиционния подход (където учител с по-слаб опит може просто да следва учебника – което между другото е причината американските учебници по математика да са толкова дебели). Освен това е много по-изискващо да се преподава по този начин, което го прави работа, заслужаваща далеч по-висок статус и по-добър размер на заплащането, отколкото е в момента. И е много по-трудно да се съберат данните, за да се измери ефективността на образованието, тъй като това означава да се разгледат действителните продукти на процеса: истински, живи хора. Добре дошли в живота в глобалната икономика на знанието от двадесет и първи век. Искаш ли да останеш в играта, Америка?


[i] Keith Devlin: In Math You Have to Remember, In Other Subjects You Can Think About It (June 2010)
[ii] Авторът под „умения“ разбира техническите умения за изчисление, свързани с елементарните аритметични операции събиране, изваждане, умножение и деление.
[iii] Learning for Tomorrow’s World / First Results from PISA 2003
[iv] What’s Math Got to Do with It?: How Parents and Teachers Can Help Children Learn to Love Their Least Favorite Subject | Amazon