Warning: getimagesize(/home/prog5zt4/public_html/wp-content/uploadshttps://www.progresivno.org/wp-content/uploads/2020/12/israel-gelfand-02_0787x0540_web_q060p.jpg): failed to open stream: No such file or directory in /home/prog5zt4/public_html/wp-content/themes/Total/framework/classes/image-resize.php on line 103
Израел Гелфанд

Ролята на учителя – Израел Гелфанд, като педагог /част 2/

д-р Лъчезар П. Томов

„Живеех в малък град със само едно училище. Моят учител беше мил, но страшно изглеждащ мъж на име Титаренко. Той имаше голям казашки мустак. Не съм имал по-добър учител, въпреки че знаех повече от него и той го знаеше. Той много ме харесваше и ме окуражаваше по всеки възможен начин. Окуражаването е най-важната работа на учителя, не е ли така?

Израел Гелфанд, интервю за списание Quantum

Ролята на учителя

За отношението на Израел Гелфанд към младите учени като Скулачев, разказва Академик Александър Спирин, визирайки прочутия семинар по биология, който Гелфанд организира и води:

„Бях изумен, че той улови недостатък в доклад по конкретна тема, далеч от научните му интереси. Не по-малко изненадващо беше, че Гелфанд не каза нито дума за това в деня на моята реч, но се изказа много години по-късно, позволявайки ми да възпитавам чувствителна и здравословна самокритика.

Гелфанд беше душата на семинара, неговият мозъчен център, камертон, с който всеки от нас, неговите ученици, можеше точно да определи дали нашите произведения заслужават внимание.“

Визията на Гелфанд за учителя е на първо място помощник и ментор, някой, който насърчава и води младите, не авторитарното отношение и суровата критика, което да ги откаже от научните занимания. Той самият е имал такъв ментор в лицето на Титаренко, защото е знаел повече от него и се е учил главно сам. Въпреки това той не би напреднал толкова много без своя учител. Парадоксално, колкото по-способен е някой да се учи сам, толкова по-голяма нужда има от своя ментор, учител, който не е инструктор, а негов водач – с критика, но и с подкрепа. Така е било и за Паскал с неговата кореспонденция с Ферма, така е за Халей и кореспонденцията с Нютон, в която Нютон е учител за Халей, но Халей е ментор на Нютон. Така е правил още Сократ с неговия подход за задаване на въпроси към учениците и тяхното самостоятелно изследване. Ето как колегите на Гелфанд го описват: „Методът на работа на Гелфанд е диалогичен. Почти никога не е работил сам, а със своите ученици, служители и колеги“. Гелфанд играе активна роля в развитието на московските математически олимпиади, сред основателите е на второто математическо училище, не смята състезанията по математика и решаването на задачи за единственото важно нещо за учениците:

„Сам научих много неща, работейки с момчетата от Второ училище. Работейки с ученици, разбрах по-добре, че човек не може да се интересува само от математика и че математиката не е спорт.

Математикът е човек, който разбира. Необходимо е не само да можете да решавате трудни задачи, но и да разбирате математиката.

Искам да посоча четири важни характеристики, общи за математиката, музиката и други науки и изкуства: първо – красота, второ – простота, трето – прецизност и четвърто – луди идеи.“

Въпреки че говори за разбиране и, че не всичко е трудни задачи, Гелфанд учи чрез поставяне на задачи на младите не чрез директно преподаване на готови, абстрактни концепции от висшата математика. Както той казва: „Нови неща не могат да се правят с концепции.“. Той смята, че висша математика може да се преподава и на по-младите и в своя семинар с времето започва да включва и гимназисти, като тук фокусът е решаването на определени задачи, но това не са безкрайно трудните задачи, развиващи техниката на олимпиеца, това са творчески задачи:

„Андрей Николаевич Колмогоров учи в Московското висше техническо училище до втората или третата година – той не знаеше дали е подходящ за математик. Можете да ги учите от много рано, ако поставяте задачи правилно, а не да преподавате концепции.“

Колко трудни трябва да са задачите

За Гелфанд те не са лабиринти за изминаване, а семена за посяване: Задачите трябва да са такива, че да могат да бъдат обяснени на първокурсниците. Задачите трябва да имат дълбок смисъл, трябва да могат да породят задълбочени идеи.

Дьорд Поѝа, който споделя същия подход, дава пример с изопериметричната задача – да се намери фигурата, която има най-голяма площ при дадена обиколка. Това е проблем, разглеждан още от античните автори и развиван чак до 20-ти век, в основата на вариационното смятане. Фигурите с по-висок ред на симетрия дават по-голямо лице при същата обиколка, или по-голяма обиколка при същото лице. Да сравним правоъгълник, равностранен триъгълник и квадрат с лице 100 cm2. Правоъгълникът е със страни a=20 cm, b=5 cm и обиколка P=2(a+b)=50 cm. Равностранният триъгълник с лице 100 cm2 ще има страна a, приблизително 15.2 cm и обиколка 45,6 cm. Квадратът ще има страна 10 cm и обиколка 40 cm.

Фигура 1
Защо квадратът има по-малка обиколка за същото лице? Ако го разрежем надлъжно на две и залепим двата правоъгълника, образувани него, ще получим правоъгълник със същото лице, но със страни a=10+10=20 cm, b=5 cm, или нашият оригинален правоъгълник с обиколка от 50 cm. Ако отново разделим надлъжно и сглобим нов правоъгълник, той ще е двойно по-дълъг, с по-голяма обиколка, но със същата площ… и така можем да продължаваме безкрайно. Най-малка обиколка за тази площ имахме в началото, когато разликата между ширина и височина беше 0 – когато имахме квадрат.

Фигура 2

Формата, която има най-висока степен на симетрия, е окръжността, но за това доказателство са нужни хилядолетия на развитие на математиката.

Гелфанд също дава задачи, които могат да доведат до дълбоки и плодотворни изследвания у учениците и студентите. Това е и неговият стил. Той има и предимството да работи в множество области на математиката едновременно, да я вижда като едно цяло и да черпи идеи от всички. Неговият семинар е обиколка из всички възможни нейни клонове, както и в биологията, физиката и химията. За него казват: „Израил Моисеевич търси и вижда хармония във всяка от науките.“

В търсене на тази хармония Гелфанд набляга на яснотата и езика, на който се изразяват неговите студенти и ученици. В своя семинар той често прекъсва изнасящите речи и задава въпроси, докато не получи възможно най-кратките и съдържателни отговори, докато не извлече смисъла – и така той повтаря стъпките на Сократ като учител. Гелфанд, също като Сократ, работи само с честни и достойни хора и служи и за морален пример на своите ученици, във всеки смисъл на думата „морал“ (вкл. и като „дух“). Не е ли именно това ролята на учителя?


Автор: д-р Лъчезар Томов, за „Институт за прогресивно образование“